Backpropagation

Perceptron ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ

่ฟ™ๆ˜ฏ็œŸๅฎž็š„็ฅž็ปๅ…ƒๅปบๆจก๏ผš

ๅฆ‚ๆžœๆˆ‘ไปฌไปŽๆ•ฐๅญฆไธŠๅปบๆจก่ฟ™ๆ ท็š„็ฅž็ปๅ…ƒ๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏ่ฟ™ๆ ท็š„๏ผš

ๆˆ‘ไปฌ็Žฐๅœจ่ฆๅผ€ๅง‹่ฎฒ่งฃๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบใ€‚้ฆ–ๅ…ˆ๏ผŒๆˆ‘ไปฌๅคไน ไธ€ไธ‹่งฃๆžๅ‡ ไฝ•็Ÿฅ่ฏ†ใ€‚

ๅฆ‚ๆžœไธ€ไธชๅนณ้ข/็›ด็บฟๆ˜ฏไปฅwTx + b = 0็š„ๅฝขๅผ็ป™ๅ‡บ็š„๏ผŒ้‚ฃไนˆ๏ผŒwๅฐฑๆ˜ฏๅนณ้ข็š„ๆณ•ๅ‘้‡๏ผŒbๆ˜ฏๅนณ้ขๅœจๆณ•ๅ‘้‡ไธŠๅนณ็งป็š„่ท็ฆปใ€‚

่€Œๅฆ‚ๆžœไธคไธชๅ‘้‡็‚นไน˜๏ผŒa = (a1 .. an), b = (b1 .. bn), dot(a,b) = a1b1 +..+ anbnไธบๆ ‡้‡๏ผŒ้•ฟๅบฆไธบbๅœจaๆ–นๅ‘ไธŠ็š„ๆŠ•ๅฝฑ้•ฟๅบฆใ€‚

ๆœ‰ไบ†่ฟ™ๆ ท็š„ๅ‰็ฝฎๅคไน ็Ÿฅ่ฏ†๏ผŒๅฐฑๆฅ็œ‹ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบใ€‚

ๅœจๅ›พ้‡Œ้ข๏ผŒxไธๆ˜ฏๆจชๅๆ ‡๏ผŒ่€Œๆ˜ฏไธ€ไธชๅ‘้‡x = (x1 .. xn), ๆŒ‡ๅ‘ๆŸไธชๆ–นๅ‘๏ผŒwไธบhyperplane็š„ๆณ•ๅ‘้‡๏ผŒไธŽhyperplaneๅž‚็›ดใ€‚dot(x,w)ไธบxๅœจwไธŠ็š„ๆŠ•ๅฝฑ๏ผˆ่ฟ™้‡Œๅฏ่ƒฝๅ†™้”™้กบๅบไบ†๏ผ‰ใ€‚

่€Œb็š„ๅผ•ๅ…ฅๅฐฑๆ˜ฏ่ฎฉๅนณ้ขๅœจw็š„ๆ–นๅ‘ไธŠๅ‰่ฟ›ๅŽ้€€ใ€‚ไธบไบ†ไพฟไบŽ็ ”็ฉถ๏ผŒๆˆ‘ไปฌๅ…ˆไธ่€ƒ่™‘ๆœ‰b็š„ๆƒ…ๅ†ตใ€‚ๆˆ‘ไปฌๅช่€ƒ่™‘wxใ€‚

้‚ฃไนˆๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ็ฎ—ๆณ•ๅฐฑๆ˜ฏ๏ผš

่ฟ™้‡Œ่งฃ้‡Šไธ€ไธ‹ใ€‚้ฆ–ๅ…ˆๆˆ‘ไปฌ็œ‹ๅˆฐ๏ผŒ็บข่‰ฒ็š„ๅœ†ๆ˜ฏๆฒกๆœ‰่ขซๆญฃ็กฎ็š„ๅˆ†็ฑป็š„ใ€‚่ฟ™ไธชๆ—ถๅ€™๏ผŒywTxๆ˜ฏ < 0็š„ใ€‚่ฟ™ๆ—ถ๏ผŒxๆ˜ฏๆŒ‡ๅ‘็บข่‰ฒๅœ†ๅœˆ็š„ๅ‘้‡ใ€‚yไธบๆญฃๆˆ–่ดŸ1ใ€‚w+yx็š„ๆ„ๆ€ๅฐฑๆ˜ฏ๏ผŒๅฆ‚ๆžœ๏ผŒyไธบ-1๏ผŒๅˆ™yxไธบx็š„ๅๆ–นๅ‘ๅ‘้‡๏ผŒw+yxๅšๅนณ่กŒๅ››่พนๅฝขๆณ•ๅˆ™๏ผŒๅ‘้‡ๅŠ ๆณ•๏ผŒ่ฎฉw่ฟ™ไธชๆณ•ๅ‘้‡ๆ—‹่ฝฌ๏ผŒไฝฟๅพ—yไธบ-1็š„็บข่‰ฒๅœ†ๅœˆๆ›ดๅฎนๆ˜“่ขซๅˆ†ๅˆฐ-1็š„็ฑปๅˆซ้‡ŒๅŽปใ€‚y=1ๅŒ็†ใ€‚

่ฟ™ไธช็ฎ—ๆณ•ๆŒบไผ˜็พŽ็š„๏ผŒไฝ†ๆ˜ฏ้—ฎ้ข˜ๅฐฑๆ˜ฏ๏ผŒๅฝ“ๆˆ‘ไปฌๆƒณ่ฆ่ฎญ็ปƒไธ€ไธชๅคšๅฑ‚็š„ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ็š„ๆ—ถๅ€™๏ผŒๅฐฑไธ็ฎกไฝœ็”จไบ†ใ€‚

Chain Rule

Chain Ruleๆฒกๅ•ฅๅฅฝ่ฏด็š„๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏ้“พๅผๆฑ‚ๅฏผใ€‚f(g(x))ๅฏนx็š„ๅฏผๆ•ฐๅฐฑๆ˜ฏf'(g(x)) * g'(x)

ๅ‰้ขๅŸ‹ไบ†ไธช้—ฎ้ข˜๏ผŒๅฐฑๆ˜ฏ่™ฝ็„ถๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ็ฎ—ๆณ•ๅพˆไผ˜็พŽ๏ผŒไฝ†ๆ˜ฏไธ€ๆ—ฆๅ˜ๆˆๅคšๅฑ‚ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ๏ผŒๅฐฑๆฒกๆณ•็”จ่ฟ™ไธชๆ–นๆณ•ไบ†ใ€‚ๆ‰€ไปฅๅฐฑๆƒณๅˆฐๆขฏๅบฆไธ‹้™ไบ†๏ผŒๆขฏๅบฆไธ‹้™่ฆๆฑ‚ๅฏผ๏ผŒsgnๅˆๆฒกๆณ•ๆฑ‚ๅฏผ๏ผŒๆ‰€ไปฅๅฏปๆฑ‚ไธ€ไธชๆ–ฐ็š„ๆฟ€ๆดปๅ‡ฝๆ•ฐๅŽปๆ›ฟๆขsgn๏ผŒ้‚ฃๅฐฑๆƒณๅˆฐไบ†sigmoidใ€‚

่ฎญ็ปƒ็š„ๆ—ถๅ€™๏ผŒๆˆ‘ไปฌๆŸๅคฑ็”จ็š„ๆ˜ฏๅ‡ๆ–นๅทฎMSEใ€‚

้‚ฃๅฆ‚ๆžœๅช็œ‹ไธ€ๅฑ‚็š„่ฏ๏ผŒๅ•ๅฑ‚็š„ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ็š„่ฎญ็ปƒๅฐฑไปŽๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ็ฎ—ๆณ•ๅ˜ๆˆไบ†่ฟ™ๆ ท๏ผš

Backpropagation

ๅคšๅฑ‚ๆ„Ÿ็Ÿฅๆœบ๏ผŒMLPๅˆๅซFeed-Forward-Networkใ€‚ไธบไบ†่ฎญ็ปƒ๏ผŒๅฐฑ่ฆ็Ÿฅ้“ๆขฏๅบฆๆ€Žไนˆๅๅ‘ไผ ๆ’ญใ€‚

ๆˆ‘ไปฌๅฏไปฅๅ€ŸๅŠฉ่ฎก็ฎ—ๅ›พ๏ผˆๆœ‰ๅ‘ๆ— ็Žฏ๏ผ‰ๆฅๅธฎๅŠฉๆˆ‘ไปฌ็ฎ—ๆขฏๅบฆใ€‚้ฆ–ๅ…ˆ๏ผŒ่ฟ™ๅผ ๅ›พๅฑ•็คบไบ†ไปŽๅ‰ๅพ€ๅŽ็ฎ—ๆขฏๅบฆ็š„ๅŠฃๅŠฟ๏ผŒๅŠฃๅŠฟๅฐฑๆ˜ฏ๏ผŒไฝ ้œ€่ฆ้‡ๅค่ฎก็ฎ—็›ธๅŒ็š„ๅ†…ๅฎนๅพˆๅคšๆฌกใ€‚

ไฝ†ไฝ ๅฆ‚ๆžœๅ็€็ฎ—๏ผŒๅฐฑไธ็”จ้‡ๅค่ฎก็ฎ—ๆขฏๅบฆไบ†๏ผŒๅฏไปฅ้‡ๅคๅˆฉ็”จใ€‚

Loss Function

่ฟ™้‡Œไป‹็ปๅ‡ ็งๅธธ็”จ็š„Loss Function

  • ไบŒๅˆ†็ฑป้—ฎ้ข˜ - MSEๅ‡ๆ–นๅทฎ

  • ไบŒๅˆ†็ฑป้—ฎ้ข˜ - ไบŒๅˆ†ไบคๅ‰็†ต

  • ๅคšๅˆ†็ฑป้—ฎ้ข˜ - MSE

sigmoidๆขๆˆไบ†softmax๏ผŒไปŽ่€Œ้ข„ๆต‹ๆฏไธช็ฑป็š„ๆฆ‚็އใ€‚

  • ๅคšๅˆ†็ฑป้—ฎ้ข˜ - ไบคๅ‰็†ต

    ๅฝ“็„ถ๏ผŒ็”จไบคๅ‰็†ตไนŸๅฏไปฅใ€‚

  • ๅ›žๅฝ’ - ๅ‡ๆ–นๅทฎ

  • ๅ›žๅฝ’ - ๅ‡็ปๅฏน่ฏฏๅทฎ

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